Roger Penrose et le théorème de Pythagore

Il y a six ans, j'ai fait pour Parutions.com la recension du livre de Roger Penrose "A la découverte des lois de l'univers - La prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique", traduit par Céline Laroche pour les éditions Odile Jacon - voyez mon billet ici - .

Je n'ai jamais prétendu avoir la compétence suffisante en mathématiques pures pour comprendre tout ce qu'écrit Penrose, mais ce qui m'a toujours intéressé chez lui, c'est sa conviction que les mathématiques ne sont pas des constructions de l'esprit mais des réalités qui existent indépendamment de nous, un point de vue assez hétérodoxe de nos jours.

Je suis donc retourné à son livre pour voir ce qu'il disait de Pythagore. Penrose, plus inspiré par Platon, ne lui accorde que deux pages (p. 9-10). Il lui reconnaît le mérite d'avoir introduit la notion de preuve en mathématiques, c'est-à-dire un argument irréprochable fondé sur une logique déductive dérivée d'axiomes, l'énoncé dont la validité est démontrée pouvant être qualifiée de théorème.

Après avoir rappelé que Pythagore a inventé à Crotone (que la traductrice orthographie mal) une échelle de nombres à l'origine de notre musique (cf plus bas, mais McEvilley dans The Shape of Ancient thought considérait que l'origine de tout cela était plus ancienne), il estime qu'on doit à Pythagore, grâce à sa notion de preuve, la démonstration de la nature atemporelle des mathématiques. Les théorèmes de Pythagore fondés sur les nombres restent valables, nous dit Penrose, ceux qui sont fondés sur la géométrie, notamment le plus connu sur le triangle rectangle, n'ont de valeur quant à eux qu'à l'intérieur des postulats euclidiens, mais selon lui "la géométrie hyperbolique - et, toutes les géométries "riemaniennes" qui généralisent la géométrie hyperbolique à des géométries à courbure irrégulière (et qui fournissent le cadre de la théorie d'Einstein) - dépend de manière cruciale de la validité du théorème de Pythagore dans la limite des courtes distances. En outre, son influence considérable infuse d'autres domaines importants des mathématiques et de la physique (par exemple la structure métrique "unitaire" de la mécanique quantique) Malgré le fait que ce théorème ait, en un sens, été supplanté à grande distance, il reste primordial à la structure à petite échelle de la géométrie, avec une gamme d'applications qui dépassent, de loin, ce pour quoi il avait été proposé initialement" (p. 45).